こんにちは、モノグサの中村です。
2022年11月20日（日）に、「フォーカスゴールド著者特別講演＆対談！数学は暗記科目か？」セミナーを開催いたしました。
今回はフォーカスゴールドの著者である竹内英人教授をお招きし、弊社CEO竹内孝太朗と「数学と記憶」について詳しくお話いただきました。

多くの生徒が陥る、間違えた数学の勉強法とは？
数学が解けるようになるため、本当に記憶すべき対象は何か？
数学指導に携わる方を始め、教育関係の皆様に本セミナーの模様をレポートいたします！

登壇者プロフィール

竹内 英人（たけうち ひでと）教授

1967年生まれ、元愛知県公立高校教諭。現在は名城大学教職センター教授として、未来の中高の数学の教員を養成している。啓林館の中学、高等学校の数学教科書を著し、Focus Gold代表執筆者。その他の著書も多数執筆している。

竹内 孝太朗（たけうち こうたろう）
 
モノグサ株式会社　代表取締役CEO
名古屋大学経済学部卒。2010年に株式会社リクルートへ入社をし、2013年より「スタディサプリ」にて高校生向けサービスの立ち上げに従事。
2016年にモノグサ株式会社をCTO畔柳と協働創業。3児の父であり、Monoxerを活用したAI時代の英才教育を実施中。

 

特別講演「数学は暗記科目か？」（竹内英人教授）

数学とは、正しいことをすれば、正しいことにつながることを「確信」する科目

まず大前提として、数学とはどのような科目だと思いますか？

明確な正解はありませんが、私の考えでは「正しいことをすれば、正しいことにつながることを『確信』する科目」だと捉えております。
そして将来的には、数学に限らずあらゆる局面でこうした考え方が活用できるようになると考えています。

数学という科目について考える際には、もちろん共通テストの話題も避けられません。
近年の共通テストのキーワードとして「思考力」「判断力」「表現力」の3つの力が求められることは度々耳にされていると思います。しかし、これらを具体的に定義するとなると難しいのではないでしょうか。

参考として、私が考える定義をご紹介させていただきます。
①思考力：自分の頭で試行錯誤する力、筋道立てて考える力
②判断力：条件から結論に至るまで、「より良い方法」を選択、判断する力
③表現力：具体から抽象へ、抽象から具体へ、「自分の言葉」で表現する力

「答えが出た時」ではなく「試行錯誤している時」に力が付く

仕事柄、色々な高校へ講義に行くのですが、そこで生徒たちに「数学ってどうしたらできるようになりますか？」とよく聞かれます。
その時には「全員に通用する正しい勉強法はないよ。でも学力が伸びない間違えた勉強法はあるから、そうならない方法は教えられるよ。」と答えています。

多くの生徒の勉強法を聞くと、問題がわからない時にはすぐ解答のページを見たり、スマホで調べたりしてしまうようです。
確かにこの勉強法でも、範囲の限られている定期考査などでは結果が出るかもしれませんが、肝心の大学入試では力を発揮できません。

何が駄目なのかというと、すぐに忘れてしまうのです。ぱっと憶えてぱっと忘れてしまうので、本人の力になりません。

一方でわからない問題でも、ヒントを手掛かりとして一生懸命に試行錯誤すればそれだけ力が付きます。
ですが、結局解けなければ時間の無駄だと考えてしまい、前述の勉強法をしてしまう生徒が多いのです。

要するに生徒は、「答えが出た時に数学の力がつく」と根本的な誤解をしています。
あくまで答えというのは最終的なゴールであり、数学の力をつけるために一番大切なのは「一生懸命に試行錯誤している時」なのです。

決定的な違いは「答えを暗記する勉強をするか」、「考え方を理解する勉強をするか」という点です。
考え方を理解する勉強をすれば必ず定着に繋がりますし、応用問題であっても解けるようになります。

丸暗記では「答えが合っているのに理解できていない現象」が起こる

丸暗記による勉強の問題点について、中学数学の「距離・速さ・時間」の問題を例に説明します。

高校生にこの問題を解いてもらうと、大抵の生徒は解くことはできます。

多くの生徒は①の方法で「x=36」という答えを出すのですが、「これは何の式？」と聞くと答えられません。
ただ「わからないものを『x』とおけば良い」と考えています。

一方で②のように解く生徒もいます。
この方法ではわからないものに「x」を代入しているわけではありませんが、それでもしっかりと答えが出ます。

つまり、「はじき」の図や、「距離・速さ・時間の比例・反比例関係」を正しく理解している子は、適切な解き方ができるのですね。
前者との違いは丸暗記なのか、理解して暗記しているのかということで、そこには非常に大きな違いがあると思います。

次に、こちらの問題を見てください。これを生徒に解いてもらうと非常に誤答が多く、東大京大の合格者を毎年20〜30名輩出するような学校でも、2年生の段階で満点が取れる生徒は2、3割程度です。

答えは【-2 < k < 6】であり、それについては正解している生徒が多いです。

しかしよく答案を見てみると、答えを導く過程がめちゃくちゃなのですね。
判別式について「How」の部分は合っているのですが、「Why」の部分がわかっていないのです。

つまり答えが合っているのに理解していないという、不思議な現象が起こります。
これは「How?型記憶（丸暗記）」をしてしまい、「Why?型記憶（理解暗記）」ができていないことが原因です。
それでは応用・活用ができないため、難しい問題は解けなくなってしまうのです。

Monoxerを活用すれば、ゲーム感覚で「正しい学習」をサポートできる

では正しい学習とはいったい何なのかということで、下図の①～④に示しました。

こうした正しい学習を可能にできるかは、高校1、2年生の学習習慣で決まってしまいます。
3年生になってから正しい勉強を始めても手遅れになってしまいますので、2年生までに学校もしくは塾でこうした指導ができるかにかかっています。

ただ、生徒の意志に任せてこれを実践し続けるには難しいところがありますし、先生方も忙しくてなかなか手厚いサポートができないかもしれません。
そこで、Monoxerのような学習コンテンツを活用していただくのが良いと考えています。

Monoxerではゲーム感覚で飽きさせず、「理解暗記（Why?型理解）」をベースに解き進めながら身に付けるという、「アウトプット」&「フィードフォワード」を体験することができます。
※フィードフォワードとは
フィードバックのように結果に対しての意見や質問とは異なり、現状目の前で与えられている問題に対してどのような視点を持つとよいのかの意見や質問のこと

イメージとしては、先生が授業中にするような適切な発問のように、Monoxerから問いが出されることで生徒の学習意欲を高めながら前に進む学習環境が提供されます。

今回、アプリ開発や営業サポートを担う「モノグサ」、教材作成を行う「啓林館」、プロによる現場感覚のサポートを行う「チームたけちゃん」が一体となり、モノグサ数学プロジェクトが発足しました。

先ほども述べた「アウトプット」&「フィードフォワード」をキーワードに、良質な学習コンテンツを作っていきたいと思っています。

 

特別対談「数学と記憶」（竹内英人教授×モノグサ竹内孝太朗）

――竹内教授と、モノグサ竹内が出会ったきっかけを教えてください。

竹内 英人教授：
英単語や文系科目にて効果を発揮しているとの実践報告も耳にしていたことで、Monoxerには以前からとても注目しておりました。

それで、数学の場合ではMonoxerがどのように活用されるのか興味を持ったのです。
中学数学・高校数学といった、しっかり論理的に積み立てていくような数学にも対応できるのかということですね。
そこで私がモノグサのホームページから、質問を送ったのが最初のきっかけでした。

竹内 孝太朗（モノグサ）：
そうでしたね。私もあの竹内教授からご質問をいただいたということで、直接お話をするため愛知県までお伺いしました。

数学とその他の教科で最も大きな違いだと感じていたのは、「問題を見て答えが出れば、知識が定着したことになるか」といった点です。

例えば英単語の場合、「Apple」という単語を見て「リンゴ」と答えられればそれで問題ありません。
それに対し数学では、条件文を見て答えが出せるだけで良いかと考えると、それでは全く違います。

そこで当時は「答えではなく解法を記憶する、それが数学へのアプローチとして適切なのではないか」ぐらいの仮説を持って、竹内教授の元へお伺いしたのが最初の出会いでした。

近年の共通テストでは、非常に高い処理能力が求められる

――共通テストにおいても、数学は非常に平均点が低い教科となっています。
中には、数学を避けるため文系を選択するほど苦手意識を持っている方も多いようなのですが、この背景にはどのような課題があるとお考えでしょうか？

竹内 英人教授：
近年の共通テストの問題について、あれが良問かどうかは賛否両論あると思います。
良い問題もあれば、ただ長いだけだと感じてしまう問題もあるのは、おそらく数学の先生方とも共通の見解ではないでしょうか。

ただ一応、それによって国が思考力や表現力を鍛え、自分で物事を考えて将来活躍できる子供を育てたいのだな、といったコンセプトは見えるのですね。
しかし、問題文が長い上に解答時間が短いということで、じっくり考えなければならない問題にも関わらず、ものすごい処理能力が求められるのです。

そのため真面目に勉強を重ねてきても、処理能力がないために時間切れになって、得点が取れない子がいる状況であり、それが非常に勿体ないと思います。
特にここ2回ほどの共通テストでは、しっかり頑張って勉強してきても、以前のセンター試験のようにその努力が報われない試験になってしまっているように感じます。

こうした状況の中で、やはり我々の仕事としては努力している生徒さんにしっかり点数を取らせてあげるのが大事なところです。
そのためには丸暗記ではなく、理解暗記を伴いながら早く処理できる能力が必要となります。

そうした時に、逐一フィードバックするような学習では処理能力が遅くなってしまうので、とりあえず見たものに対してアウトプットできる「フィードフォワード」という思想ですね。
それを基にMonoxerを活用してサポートすれば、子供たちを救うことができるのではないかと感じたこともあり、私はMonoxerというアプリに強く共感しております。

竹内 孝太朗（モノグサ）：
数学の場合、他科目と異なり問題文に答えを導くためのヒントが少ない点も大きいと感じます。
出題形式が問題解決型であり、そこに書いてある情報だけでは必要な材料を引き出せないのが難しさの根源であり、苦手意識の大きな要因ではないでしょうか。

加えて、情報量が増えスピードが求められている点もネックになっていると感じています。
そうした中で「スピードを上げていく」という一つ重要な要素に対しては、弊社の得意分野である記憶によってお手伝いができるのではないかと考えております。

共通テストの100点中75点が、フォーカスゴールドの例題の解法と対応

竹内 孝太朗（モノグサ）：
我々の方で調査したところ、フォーカスゴールドに載っている解法によって、数学共通テストの100点満点中、75点分に対応できるとの結果が出ました。

もちろん、解法を押さえていたとしても必ず問題が解けるわけではありません。

しかし少なくとも「この素材を持っていなかったら絶対に解けない」といった、素材レベルで約75%はカバーできているのではないか、というのがフォーカスゴールドの網羅度に対する我々の見解です。

内訳として、25%に関してはフォーカスゴールドの例題のみでは解くことができないと判断しました。
これらを解くためには、章末問題レベルに含有されるテクニックや、複数の例題の解法を初見で組み合わせる力が必要となります。

ですが、逆に言えば75％に関しては例題の中で明示されている素材を適切に用いれば解くことができるのです。

例題についてもレベル分けがされており、使うテクニックのうち7割程度は星2つまで取り組めば網羅できると思います。
加えて、最終的にフォーカスゴールドで使えるテクニックを全部網羅しようと思うと、星1つまで取り組む必要があるのではないかと捉えております。

数学の解法は複数の「定石」で構成されている

竹内 孝太朗（モノグサ）：
弊社は「解いて憶える記憶アプリ」を提供しているのですが、数学において何を記憶対象とするかが今回大きな論点となりました。

例えば条件文を見て、最終的な答えだけ出せれば良いかというと、全く違います。

そこで、記憶対象とすべきだと考えたのが図にブルーで書かれた、平方完成や場合分けといった部分です。
これらをいわゆる「定石」として、まずは記憶対象にしていければと考えております。

次に解き終わった後の状態を整理すると、条件文に対して次のステップ、次のステップといった形で、状態の変化をさせていきます。
ここで状態を変化させるために、平方完成や場合分けなど、「定石」の理解が必要となるのではないかと思っています。

数学解法のイメージとしては、図に示したようにスタートとなる条件文から、最後のゴールへと向かっていきます。
その際、試行錯誤しながら進んでいく方法もあれば、ゴールから逆算して遡るように展開する方法もあるかもしれません。

しかし今回、我々が理想と考えたのは右側に示した「①『定石』を確実に踏む」です。
つまり、特定の状態から特定の状態に一歩を進めるということについて、確実にできるようにしたいと考えています。

加えて「②複数の『定石』を組み合わせる」と書きましたが、まさにここが竹内教授とお話したいポイントです。

おそらく①だけでは、皆様が「Why?型記憶」の授業やティーチングを行う上での、素材を提供したにすぎないのではないかと思っています。
真に「Why?型記憶」の素養を育成していくならば、やはり②のようなことが必要になると考えました。

そこでこの図を用いた場合、竹内教授の仰っていた内容がどのように当てはまるのかについてお聞きできればと思います。

竹内 英人教授：
今のご説明で概略は掴めましたので、実際に使うとなった場合のイメージでお話させていただきます。

例えば平方完成であれば、多くの生徒はすぐに使うことができますよね。
しかしそうなると、平方完成するような必要がない問題でも、条件反射で平方完成してしまいます。

そこで学校の先生は当然「この問題は平方完成する必要ある？」と発問を投げかけます。
その時、先生の頭の中には「散らばった変数を1ヶ所にまとめる」という平方完成の本質があり、そこへ生徒を導くために考えながら発問を投げかけているわけです。

その「変数を1ヶ所にまとめる」ことは、後の数学でも様々な場面で必要となります。
つまり先生方は先を見据えて、そうしたフィードフォワードの発問をしているのですね。

なのでMonoxerのコンセプトとしては、先生方による発問をできるだけ忠実に再現しながら、1個1個のお団子を繋げていく。
それを解きながら進んでいくような形で、記憶定着を実現したいということにあると思っています。

「Why?型記憶」は教え込むのではなく、「発問」を通じて気付かせる

竹内 孝太朗（モノグサ）：
竹内教授が仰る「Why?型記憶」とは、単にこの図のDから思い付けばいいというお話なのか、それとも我々が示した図では表現できないようなものに当たるのでしょうか？

竹内 英人教授：
距離・速さ・時間の問題で使われる「はじき」の図で例えてみますと、そもそもこの図が正しく書けない子も結構います。

しかしそういった子でも、「時速60キロの車が2時間走ったら、何km走ったことになる？」と聞くと「60×2=120」と言えるわけですよね。
つまり自分の理解と「はじき」の図が結びついてないわけです。「はじき」というパーツだけ別に憶えてしまいます。

先ほどの図で例えると、1個1個のお団子のパーツはあるけれども、そこがしっかり結びついていない状態です。
理解暗記のもとで図が理解できてないため、活用することもできないといったイメージで捉えております。

竹内 孝太朗（モノグサ）：
先ほど「平方完成の本質」といったお話もありましたが、そうした「Why?型記憶」にたどり着くまでの過程についてもお聞きしたく思います。
生徒は「How?型記憶」から学んで「Why?型記憶」にたどり着くのか、それとも最初から「Why?型記憶」を通じて学び続ける形になるのでしょうか？

竹内 英人教授：
私は基本的に、「Why?型記憶」から入るのはハードルが高いと感じております。
平方完成であれば、まずはしっかりとそれをできるようになることが大前提ですね。

ただその時に、先生方から「平方完成をすることで何がわかる？」と発問をすると、「軸がわかる」などと答える子も多くいると思います。
そこから「軸は平方完成しないとわからないのかな？」といったように、色々な角度から発問を続けていくことで、徐々に「Why?型記憶」に繋がっていきます。

つまり、先生と生徒のやり取りを通じて生徒に自発的に気付いてもらうというのが、一番自然な「Why?型記憶」の学習だと思っています。

「Why?型記憶」は大事ですが、決して教え込むものではありません。
高校1、2年のうちにしっかりと「How?型記憶」のベースを固めながら、先生が発問によってサポートをしてあげるというのが、「Why?型記憶」のベストな指導方法だと考えております。

 

Monoxer×数学のご紹介

解法の定着により、何も見ずに問題が解き進められる状態を実現

例えば、下図のような三角関数の問題があります。

こうした問題を解けるようになるには、条件文と答えをそのまま結びつけて記憶してもあまり意味がありません。

実際に問題を解いていく過程を見ていくと、図のように式の整理を行う「テクニック」を使いながら、次々と「ステップ」を進んでいき、ゴールへと導く「解法」を用います。
数学において成績を上げるうえでは、これらを記憶対象にすべきだと考えています。
各ステップを解き進めるための条件について、我々では3つの要素に分けて定義しております。

まず、ある状態から「このテクニックで進めよう」と選択できるのが①の状態です。
図の問題であれば「ここで平方完成だな」と思い付ける状態ですね。

次に、テクニックである平方完成の方法についてしっかり記憶できている状態が②です。
そして計算間違いなどをせず、適切に平方完成を行える状態が③になります。

モノグサの数学コンテンツでは、上記の3要素を全て定着させ「何も見ない状態からでも問題を解き進められる状態」を実現したいと考えております。

「ゲームのようにサクサク」学習ができるように開発

数学という教科の成績全体を考えると、現時点では機械で学習するのが難しい内容もありますが、記憶の定着に関しては十分にサポートができると考えております。

先ほど、竹内教授からも「ゲームのようにサクサクと」というお話がありました。
Monoxerでは、数式をスムーズに入力できる手書きOCR機能をはじめ各種機能を実装し、いかにサクサクと解いていただく体験を実現できるか意識しながら開発を進めております。

フォーカスゴールドのテクニックをMonoxerで定着して活用する

来る2023年4月1日に「フォーカスゴールド数学Ⅰ+A」が正式リリースされ、Monoxerでもその中のテクニックを抽出し定着しやすい形にしていきたいと思っています。

具体的には、まず授業にて例題でテクニックを理解し、Monoxerで学んだテクニックを定着させます。
そして定着したテクニックで、テストや演習を解いていくといった学習の流れが効果的だと考えておりますので、是非ともご活用いただければ幸いです。

おわりに

当日ご参加くださった皆様、また、本レポートを最後までお読みくださった皆様、誠にありがとうございました！
Monoxerに興味が湧いた！もっと知りたい！という方は、是非資料請求や無料トライアルのお問い合わせをいただけますと幸いです。
また、今後も継続的にイベントを実施しておりますので、是非ご参加ください。
今後とも、解いて憶える記憶アプリMonoxerをどうぞよろしくお願いいたします。